Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} x^{3} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 0^{-}} x^{3} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0^{-}} x^{3} - lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{3} - lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner gegen $0$ geht, wenn $x$ von links gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ gegen Unendlich.

${(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{3} - \infty$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$0^{3} - \infty$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \infty$

Schritt 5.1.2

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$0 + - \infty$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\infty$ von $0$ .

$- \infty$