Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{2}{3}} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $3 x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ um.

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8}{3^{3}}$

Schritt 2.5.4.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{8}{27}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8}{27}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 4.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Schritt 6.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

Schritt 6.2.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

Schritt 6.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

Schritt 6.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{5}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{8}{27})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{148}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.\overline{148}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.52913368$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

Schritt 7.2.1.3

Dividiere $2$ durch $1.58740105$ .

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1$ von $1.25992104$ .

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.25992104$ .

$0.25992104$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.\overline{148}$ ist die Ableitung $0.25992104$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \frac{8}{27})$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \frac{8}{27})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{8}{27}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.2962963$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.2962963$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1.09035543$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

Schritt 8.2.1.3

Dividiere $2$ durch $3.27106631$ .

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $1$ von $0.61142141$ .

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.38857858$ .

$- 0.38857858$

Schritt 8.3

Bei $x = 1.2962963$ ist die Ableitung $- 0.38857858$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{8}{27}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{8}{27}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \frac{8}{27})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

Schritt 10