Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} - x^{4} - 5 x^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 1 \cdot 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 5 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.2.7.3

Addiere $- 6$ und $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1}$

Schritt 1.3.6.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 - 1}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.6.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{4} - 5 x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.6

Addiere $- 4 x^{3} - 10 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + 0}$

Schritt 3.12

Addiere $3 x^{2} + 2 x - 1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} - 4 x^{3} - 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 8

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{- 4 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$\frac{- 4 - 10}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.1.4

Subtrahiere $10$ von $- 4$ .

$\frac{- 14}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 14}{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1}$

Schritt 15.2.5

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{- 14}{5 - 1}$

Schritt 15.2.6

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{- 14}{4}$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$\frac{2 (- 7)}{4}$

Schritt 15.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 15.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 15.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7}{2}$

Schritt 15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{2}$