Analysis Beispiele

$0 = 1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - (164) \cdot 8.99 \cdot 10^{9} {(1.6 \cdot 10^{- 19})}^{2} r - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 164 \cdot 8.99 \cdot (10^{9} {(1.6 \cdot 10^{- 19})}^{2} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$ um.

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 164 \cdot 8.99 \cdot (10^{9} {(1.6 \cdot 10^{- 19})}^{2} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 164 \cdot 8.99 \cdot (10^{9} {(1.6 \cdot 10^{- 19})}^{2} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $- 164$ mit $8.99$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (10^{9} {(1.6 \cdot 10^{- 19})}^{2} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Potenziere $10$ mit $9$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (1000000000 {(1.6 \cdot 10^{- 19})}^{2} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel auf $1.6 \cdot 10^{- 19}$ an.

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (1000000000 ({1.6}^{2} \cdot {(10^{- 19})}^{2}) r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.4

Potenziere $1.6$ mit $2$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (1000000000 (2.56 \cdot {(10^{- 19})}^{2}) r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(10^{- 19})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (1000000000 (2.56 \cdot 10^{- 19 \cdot 2}) r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $- 19$ mit $2$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (1000000000 \cdot 2.56 \cdot 10^{- 38} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $1000000000$ mit $2.56$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (2560000000 \cdot 10^{- 38} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.7

Verschiebe das Dezimaltrennzeichen in $2560000000$ nach links um $9$ Stellen und erhöhe die Potenz von $10^{- 38}$ um $9$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 1474.36 \cdot (2.56 \cdot 10^{- 29} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $2.56$ mit $- 1474.36$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 3774.3616 (10^{- 29} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 3774.3616 (\frac{1}{10^{29}} r) - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.10

Kombiniere $\frac{1}{10^{29}}$ und $r$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - 3774.3616 \frac{r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11

Kombiniere $- 3774.3616$ und $\frac{r}{10^{29}}$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} + \frac{- 3774.3616 r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot {(1.5 \cdot 10^{- 14})}^{2} = 0$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $1.5 \cdot 10^{- 14}$ an.

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot ({1.5}^{2} \cdot {(10^{- 14})}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.14

Potenziere $1.5$ mit $2$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot (2.25 \cdot {(10^{- 14})}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.15

Multipliziere die Exponenten in ${(10^{- 14})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot (2.25 \cdot 10^{- 14 \cdot 2}) = 0$

Schritt 2.1.15.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 1.84 \cdot 10^{- 12} \cdot 2.25 \cdot 10^{- 28} = 0$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $- 1.84$ mit $2.25$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 (10^{- 12} \cdot 10^{- 28}) = 0$

Schritt 2.1.17

Multipliziere $10^{- 12}$ mit $10^{- 28}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.17.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 12 - 28} = 0$

Schritt 2.1.17.2

Subtrahiere $28$ von $- 12$ .

$1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $1.84 \cdot 10^{- 12} r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40}$ um.

$1.84 r^{2} \cdot 10^{- 12} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1.84 r^{2} \cdot \frac{1}{10^{12}} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.2

Potenziere $10$ mit $12$ .

$1.84 r^{2} \cdot \frac{1}{1000000000000} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere $1.84 r^{2} \frac{1}{1000000000000}$ .

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $1.84$ und $\frac{1}{1000000000000}$ .

$r^{2} \frac{1.84}{1000000000000} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{1.84}{1000000000000}$ .

$\frac{r^{2} \cdot 1.84}{1000000000000} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.4

Bringe $1.84$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$\frac{1.84 \cdot r^{2}}{1000000000000} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $1.84$ aus $1.84 \cdot r^{2}$ heraus.

$\frac{1.84 (r^{2})}{1000000000000} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $1000000000000$ aus $1000000000000$ heraus.

$\frac{1.84 (r^{2})}{1000000000000 (1)} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.7

Separiere Brüche.

$\frac{1.84}{1000000000000} \cdot \frac{r^{2}}{1} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.8

Dividiere $1.84$ durch $1000000000000$ .

$0 \frac{r^{2}}{1} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 3.9

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$0 r^{2} - \frac{3774.3616 r}{10^{29}} - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $10^{29}$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10^{29} (0 r^{2}) + 10^{29} (- \frac{3774.3616 r}{10^{29}}) + 10^{29} \cdot - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10^{29}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3774.3616 r}{10^{29}}$ in den Zähler.

$10^{29} \cdot (0 r^{2}) + 10^{29} (\frac{- 3774.3616 r}{10^{29}}) + 10^{29} \cdot - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10^{29} \cdot (0 r^{2}) + 10^{29} (\frac{- 3774.3616 r}{10^{29}}) + 10^{29} \cdot - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$10^{29} \cdot (0 r^{2}) - 3774.3616 r + 10^{29} \cdot - 4.14 \cdot 10^{- 40} = 0$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $10^{29}$ mit $10^{- 40}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $10^{- 40}$ .

$10^{29} \cdot (0 r^{2}) - 3774.3616 r + 10^{- 40} \cdot 10^{29} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10^{29} \cdot (0 r^{2}) - 3774.3616 r + 10^{- 40 + 29} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 40$ und $29$ .

$10^{29} \cdot (0 r^{2}) - 3774.3616 r + 10^{- 11} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Bringe $0$ auf die linke Seite von $10^{29}$ .

$0 \cdot 10^{29} r^{2} - 3774.3616 r + 10^{- 11} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.3.2

Verschiebe das Dezimaltrennzeichen in $0$ nach rechts um $12$ Stellen und verringere die Potenz von $10^{29}$ um $12$ .

$1.84 \cdot 10^{17} r^{2} - 3774.3616 r + 10^{- 11} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1.84 \cdot 10^{17} r^{2} - 3774.3616 r + \frac{1}{10^{11}} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.3.4

Potenziere $10$ mit $11$ .

$1.84 \cdot 10^{17} r^{2} - 3774.3616 r + \frac{1}{100000000000} \cdot - 4.14 = 0$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $\frac{1}{100000000000}$ und $- 4.14$ .

$1.84 \cdot 10^{17} r^{2} - 3774.3616 r + \frac{- 4.14}{100000000000} = 0$

Schritt 4.3.6

Dividiere $- 4.14$ durch $100000000000$ .

$1.84 \cdot 10^{17} r^{2} - 3774.3616 r 0 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1.84 \cdot 10^{17}$ , $b = - 3774.3616$ und $c = 0$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} - 4 \cdot (1.84 \cdot 10^{17} \cdot 0)}}{2 \cdot 1.84 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wandle $0$ in eine wissenschaftliche Notation um.

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} - 4 \cdot (1.84 \cdot 10^{17} \cdot - 4.14 \cdot 10^{- 11})}}{2 \cdot 1.84 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $1.84$ mit $- 4.14$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} - 4 \cdot (- 7.6176 (10^{17} \cdot 10^{- 11}))}}{2 \cdot 1.84 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.3

Multipliziere $10^{17}$ mit $10^{- 11}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} - 4 \cdot (- 7.6176 \cdot 10^{17 - 11})}}{2 \cdot 1.84 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $11$ von $17$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} - 4 \cdot - 7.6176 \cdot 10^{6}}}{2 \cdot 1.84 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7.6176$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} + 30.4704 \cdot 10^{6}}}{2 \cdot 1.84 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $1.84$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{{(- 3774.3616)}^{2} + 30.4704 \cdot 10^{6}}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.1

Potenziere $- 3774.3616$ mit $2$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{14245805.4875546 + 30.4704 \cdot 10^{6}}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6.2

Verschiebe das Dezimaltrennzeichen in $30.4704$ nach links um $1$ Stelle und erhöhe die Potenz von $10^{6}$ um $1$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{14245805.4875546 + 3.04704 \cdot 10^{7}}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6.3

Wandle $14245805.4875546$ in eine wissenschaftliche Notation um.

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{1.42458054 \cdot 10^{7} + 3.04704 \cdot 10^{7}}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6.4

Faktorisiere $10^{7}$ aus $1.42458054 \cdot 10^{7} + 3.04704 \cdot 10^{7}$ heraus.

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{(1.42458054 + 3.04704) \cdot 10^{7}}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6.5

Addiere $1.42458054$ und $3.04704$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{4.47162054 \cdot 10^{7}}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6.6

Potenziere $10$ mit $7$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{4.47162054 \cdot 10000000}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.6.7

Mutltipliziere $4.47162054$ mit $10000000$ .

$r = \frac{3774.3616 \pm \sqrt{44716205.4875546}}{3.68 \cdot 10^{17}}$

Schritt 7.7

Vereinfache $\frac{3774.3616 \pm \sqrt{44716205.4875546}}{3.68 \cdot 10^{17}}$ .

$r = \frac{94359.04 \pm 25 \sqrt{44716205.4875546}}{9200000000000000000}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = 0, 0$