Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ um.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2} + a x + b, 1$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$x^{2} + a x + b, 1$

Schritt 3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2} + a x + b$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ mit $x^{2} + a x + b$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} = f (x)$ mit $x^{2} + a x + b$ .

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + a x + b$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x^{2} + a x + b} (x^{2} + a x + b) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x - 3) (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (x - 1) = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 3 x - 3 \cdot - 1 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - 3 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- x$ .

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) (x^{2} + a x + b)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 x + 3 = f (x) x^{2} + f (x) (a x) + f (x) b$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren in $f (x) x^{2} + f (x) a x + f (x) b$ um.

$x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} f (x) + a x f (x) + b f (x)$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$ um.

$x^{2} f (x) + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} f + a x f (x) + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Bewege $x$ .

$x^{3} f + a (x \cdot x) f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} f + a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $x^{3} f$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x^{2} f + b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $a x^{2} f$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ durch $f x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $b f x = x^{2} - 4 x + 3 - x^{3} f - a x^{2} f$ durch $f x$ .

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b f x}{f x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b x}{x} = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{x^{2}}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$b = \frac{x \cdot x}{f x} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{x \cdot x}{x f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4 x}{f x} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{x}{f} + \frac{- 4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{3} f}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3} f$ heraus.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{f x} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{x (- x^{2} f)}{x f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 5.4.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} + \frac{- x^{2} f}{f} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.5.2

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x^{2} f}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- a x^{2} f$ heraus.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{f x}$

Schritt 5.4.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Schritt 5.4.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{x (- a x f)}{x f}$

Schritt 5.4.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Schritt 5.4.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 5.4.3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} + \frac{- a x f}{f}$

Schritt 5.4.3.1.7.2

Dividiere $- a x$ durch $1$ .

$b = \frac{x}{f} - \frac{4}{f} + \frac{3}{f x} - x^{2} - a x$