Analysis Beispiele

$0 = 12 t^{3} + 60 t^{2} - 48 t$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $12 t^{3} + 60 t^{2} - 48 t = 0$ um.

$12 t^{3} + 60 t^{2} - 48 t = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $12 t$ aus $12 t^{3} + 60 t^{2} - 48 t$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $12 t$ aus $12 t^{3}$ heraus.

$12 t (t^{2}) + 60 t^{2} - 48 t = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 t$ aus $60 t^{2}$ heraus.

$12 t (t^{2}) + 12 t (5 t) - 48 t = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $12 t$ aus $- 48 t$ heraus.

$12 t (t^{2}) + 12 t (5 t) + 12 t (- 4) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $12 t$ aus $12 t (t^{2}) + 12 t (5 t)$ heraus.

$12 t (t^{2} + 5 t) + 12 t (- 4) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $12 t$ aus $12 t (t^{2} + 5 t) + 12 t (- 4)$ heraus.

$12 t (t^{2} + 5 t - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 5 t - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 5

Setze $t^{2} + 5 t - 4$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $t^{2} + 5 t - 4$ gleich $0$ .

$t^{2} + 5 t - 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $t^{2} + 5 t - 4 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$t = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$t = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Addiere $25$ und $16$ .

$t = \frac{- 5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - \frac{5 - \sqrt{41}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 t (t^{2} + 5 t - 4) = 0$ wahr machen.

$t = 0, - \frac{5 - \sqrt{41}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = 0, - \frac{5 - \sqrt{41}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$

Dezimalform:

$t = 0, 0.70156211 \dots, - 5.70156211 \dots$