Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 13 x$ ; $[1, 6]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 13 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (13 x)$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 x$ nach $x$ gleich $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + 13 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + 13 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 8 x + 13$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} - 8 x + 13$ .

$x^{2} - 8 x + 13$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - 8 x + 13 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} - 8 x + 13 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $52$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{3}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{3}, 4 - \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 13 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 4 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $4 + \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(4 + \sqrt{3})}^{3} - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{3} \cdot (4^{3} + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 16 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{1} + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.6

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{3^{3}}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{27}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.9

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.9.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{9 (3)}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.9.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.2.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 \sqrt{3} + 36 + 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Addiere $64$ und $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 + 48 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Addiere $48 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 + 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{1}{3} (51 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $100$ .

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (51 \sqrt{3}) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $51 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (17 \sqrt{3})) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (17 \sqrt{3})) - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 {(4 + \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.8

Schreibe ${(4 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 ((4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.9

Multipliziere $(4 + \sqrt{3}) (4 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.1.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (4 (4 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (4 + \sqrt{3})) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} (4 + \sqrt{3})) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1.2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.10.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 3) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.2

Addiere $16$ und $3$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (19 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.10.3

Addiere $4 \sqrt{3}$ und $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 (19 + 8 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 4 \cdot 19 - 4 (8 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $19$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 4 (8 \sqrt{3}) + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.13

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 32 \sqrt{3} + 13 (4 + \sqrt{3})$

Schritt 1.4.1.2.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 32 \sqrt{3} + 13 \cdot 4 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.1.15

Mutltipliziere $13$ mit $4$ .

$\frac{100}{3} + 17 \sqrt{3} - 76 - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.2

Um $- 76$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} - 76 \cdot \frac{3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.3

Kombiniere $- 76$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} + \frac{- 76 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{100 - 76 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 76$ mit $3$ .

$\frac{100 - 228}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Subtrahiere $228$ von $100$ .

$\frac{- 128}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{128}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 52 + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.7

Um $52$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 52 \cdot \frac{3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.8

Kombiniere $52$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{52 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 128 + 52 \cdot 3}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.10.1

Mutltipliziere $52$ mit $3$ .

$\frac{- 128 + 156}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Addiere $- 128$ und $156$ .

$\frac{28}{3} + 17 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.11

Subtrahiere $32 \sqrt{3}$ von $17 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} - 15 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.1.2.12

Addiere $- 15 \sqrt{3}$ und $13 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} - 2 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 4 - \sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $4 - \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(4 - \sqrt{3})}^{3} - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{3} \cdot (4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 + 48 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.8

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.9

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.2.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3^{1} + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.9.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 12 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.10

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 + {(- \sqrt{3})}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - {\sqrt{3}}^{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.13

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{3^{3}}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.14

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{27}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.15

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.2.15.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{9 (3)}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.15.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - (3 \sqrt{3})) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.2.17

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (64 - 48 \sqrt{3} + 36 - 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Addiere $64$ und $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 - 48 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 48 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (100 - 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{1}{3} (- 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $100$ .

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (- 51 \sqrt{3}) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 51 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (- 17 \sqrt{3})) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100}{3} + \frac{1}{3} (3 (- 17 \sqrt{3})) - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 {(4 - \sqrt{3})}^{2} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.8

Schreibe ${(4 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 ((4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.9

Multipliziere $(4 - \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (4 (4 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (4 - \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (4 - \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.10.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 + 4 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3^{1}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (16 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.2

Addiere $16$ und $3$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (19 - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.10.3

Subtrahiere $4 \sqrt{3}$ von $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 (19 - 8 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 4 \cdot 19 - 4 (- 8 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $19$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 - 4 (- 8 \sqrt{3}) + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.13

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 13 (4 - \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 13 \cdot 4 + 13 (- \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.15

Mutltipliziere $13$ mit $4$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 52 + 13 (- \sqrt{3})$

Schritt 1.4.2.2.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$\frac{100}{3} - 17 \sqrt{3} - 76 + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.2

Um $- 76$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} - 76 \cdot \frac{3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.3

Kombiniere $- 76$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{100}{3} + \frac{- 76 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{100 - 76 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 76$ mit $3$ .

$\frac{100 - 228}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.5.2

Subtrahiere $228$ von $100$ .

$\frac{- 128}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{128}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} + 52 - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.7

Um $52$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + 52 \cdot \frac{3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.8

Kombiniere $52$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{128}{3} + \frac{52 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 128 + 52 \cdot 3}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.10.1

Mutltipliziere $52$ mit $3$ .

$\frac{- 128 + 156}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.10.2

Addiere $- 128$ und $156$ .

$\frac{28}{3} - 17 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.11

Addiere $- 17 \sqrt{3}$ und $32 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} + 15 \sqrt{3} - 13 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.2.2.12

Subtrahiere $13 \sqrt{3}$ von $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{28}{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(4 + \sqrt{3}, \frac{28}{3} - 2 \sqrt{3}), (4 - \sqrt{3}, \frac{28}{3} + 2 \sqrt{3})$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} + 13 (1)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} + 13 (1)$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - 4 {(1)}^{2} + 13 (1)$

Schritt 2.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} - 4 \cdot 1 + 13 (1)$

Schritt 2.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - 4 + 13 (1)$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - 4 + 13$

Schritt 2.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $- 4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4}{1} + 13$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 13$

Schritt 2.1.2.2.4

Schreibe $13$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Schritt 2.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{13}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{13}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 4 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{1 - 12 + 13 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $13$ mit $3$ .

$\frac{1 - 12 + 39}{3}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.1.2.5.1

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$\frac{- 11 + 39}{3}$

Schritt 2.1.2.5.2

Addiere $- 11$ und $39$ .

$\frac{28}{3}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 6$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(6)}^{3} - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Schritt 2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot (3 (72)) - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 72) - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$72 - 4 {(6)}^{2} + 13 (6)$

Schritt 2.2.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$72 - 4 \cdot 36 + 13 (6)$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $36$ .

$72 - 144 + 13 (6)$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $13$ mit $6$ .

$72 - 144 + 78$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $144$ von $72$ .

$- 72 + 78$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $- 72$ und $78$ .

$6$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(1, \frac{28}{3}), (6, 6)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4 - \sqrt{3}, \frac{28}{3} + 2 \sqrt{3})$

Absolutes Minimum: $(4 + \sqrt{3}, \frac{28}{3} - 2 \sqrt{3})$

Schritt 4