Analysis Beispiele

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = 1 - e^{z}$ und $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + e^{z}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ gleich $a^{z} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{z}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- e^{z}$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ gleich $a^{z} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $e^{z}$ mit $e^{z}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1

Bewege $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $z$ und $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Schritt 6.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Schritt 6.2.3

Schreibe $- 1 e^{2 z}$ als $- e^{2 z}$ um.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $- e^{z}$ mit $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.1.3

Mutltipliziere $e^{z}$ mit $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.1.5

Multipliziere $e^{z}$ mit $e^{z}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.2.1.5.1

Bewege $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.1.5.3

Addiere $z$ und $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $- e^{z}$ und $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.4.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $e^{2 z}$ von $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Schritt 6.6

Stelle die Faktoren in $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ um.

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$