Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 3 x - 10$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.10

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.11

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Multipliziere $(- x - 2) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.4

Addiere $- 10$ und $6$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 2$ plus $- 2$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f' (x) = \frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.3.4.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1.3.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 1.1.1.3.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2

Wende die Produktregel auf $(x - 5) (x + 2)$ an.

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.4

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.5

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.6

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ als ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.2.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + 0$

Schritt 1.1.2.4.7.2

Addiere $2 {(x - 5)}^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

Schritt 1.1.2.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 2$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2, 5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2, 5}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{{((- 4) - 5)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{{(- 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{- 729}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{729}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{729}$ .

$- \frac{2}{729}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 5)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 5)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 125}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{2}{125}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{125}$ .

$- \frac{2}{125}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 5)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- 2, 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = \frac{2}{{((8) - 5)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f'' (8) = \frac{2}{3^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (8) = \frac{2}{27}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(5, \infty)$ konvex, weil $f'' (8)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konkav im Intervall $(- 2, 5)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(5, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8