Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (x)}{x^{7}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x^{7}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{7}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{7}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{6}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.2.2.5

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$\frac{x^{6} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{x^{6} - \ln (x) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{6} - 7 \ln (x) x^{6}}{x^{14}}$

Schritt 3.4.4.2

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{6} - 7 \ln (x) x^{6}$ heraus.

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Schritt 3.4.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{6} \cdot 1 - 7 \ln (x) x^{6}}{x^{14}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Faktorisiere $x^{6}$ aus $- 7 \ln (x) x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{6} \cdot 1 + x^{6} (- 7 \ln (x))}{x^{14}}$

Schritt 3.4.4.2.3

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{6} \cdot 1 + x^{6} (- 7 \ln (x))$ heraus.

$\frac{x^{6} (1 - 7 \ln (x))}{x^{14}}$

Schritt 3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{14}$ heraus.

$\frac{x^{6} (1 - 7 \ln (x))}{x^{6} x^{8}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{6} (1 - 7 \ln (x))}{x^{6} x^{8}}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 7 \ln (x)}{x^{8}}$

Schritt 3.6

Vereinfache $- 7 \ln (x)$ , indem du $7$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln (x^{7})}{x^{8}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1 - \ln (x^{7})}{x^{8}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x^{7})}{x^{8}}$