Analysis Beispiele

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{17}$ und $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{17}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 17$ .

$17 u^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x^{2}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.10

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.10.2

Mutltipliziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.12

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.12.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + x^{2}$ .

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.12.2

Kombiniere $\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ und $17$ .

$\frac{(2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x) \cdot 17}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

Schritt 3.3.12.3

Bringe $17$ auf die linke Seite von $2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x$ .

$\frac{17 \cdot (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ an.

$\frac{17 (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 ((2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{17 (2 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$\frac{34 x + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{2} x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{1 + 2}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{3}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.9

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.12

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{3})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.13

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.14

Addiere $34 x$ und $34 x$ .

$\frac{- 34 x^{3} + 68 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.15

Addiere $- 34 x^{3}$ und $34 x^{3}$ .

$\frac{68 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.16

Addiere $68 x$ und $0$ .

$\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.17

Mutltipliziere $\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ mit $\frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2} {(1 - x^{2})}^{16}}$

Schritt 3.4.7.18

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{2}$ mit ${(1 - x^{2})}^{16}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.18.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2 + 16}}$

Schritt 3.4.7.18.2

Addiere $2$ und $16$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{18}}$

Schritt 3.4.8

Stelle die Terme um.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1)}^{18}}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{18}}$

Schritt 3.4.9.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1^{2} - x^{2})}^{18}}$

Schritt 3.4.9.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{((1 + x) (1 - x))}^{18}}$

Schritt 3.4.9.4

Wende die Produktregel auf $(1 + x) (1 - x)$ an.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$