Analysis Beispiele

$x \sqrt{y} = 1$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.9

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.11

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 3.14

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $y^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Ersetze $y^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1.1

Wende die Produktregel auf $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Schritt 6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Schritt 6.4

Ersetze $u$ durch $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $y^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.6

Multipliziere beide Seiten mit $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.1.1

Vereinfache $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.7.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.7.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.2.1

Vereinfache $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.7.2.1.2

Multipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.2.1.2.1

Bewege $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.7.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.7.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Schritt 6.7.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Schritt 6.7.2.1.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Schritt 6.7.2.1.3

Vereinfache $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Schritt 6.7.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x y' = - 2 y$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 2 y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 2 y$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$