Analysis Beispiele

$\frac{2}{x} = \frac{y}{12}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{2}{x}) = \frac{d}{d x} (\frac{y}{12})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{12} y'$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{12}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{2}{x^{2}} = \frac{y'}{12}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y'}{12} = - \frac{2}{x^{2}}$ um.

$\frac{y'}{12} = - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 \frac{y'}{12} = 12 (- \frac{2}{x^{2}})$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{y'}{12} = 12 (- \frac{2}{x^{2}})$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = 12 (- \frac{2}{x^{2}})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $12 (- \frac{2}{x^{2}})$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere $12 (- \frac{2}{x^{2}})$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$y' = - 12 \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$y' = \frac{- 12 \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$y' = \frac{- 24}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{24}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24}{x^{2}}$