Analysis Beispiele

${(x + y^{2})}^{10} = 3 x^{2} + 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x + y^{2})}^{10}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 7)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{10}$ und $g (x) = x + y^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + y^{2}$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$6 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ durch $10 {(x + y^{2})}^{9}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ durch $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + y^{2})}^{9}$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $1 + 2 y y'$ durch $1$ .

$1 + 2 y y' = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $10$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 {(x + y^{2})}^{9}$ heraus.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Schritt 5.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Schritt 5.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1}{2 y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1 \cdot \frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} + \frac{- (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\frac{3 x - (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Schritt 5.3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y' = \frac{\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Schritt 5.3.3.4

Multipliziere $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ mit $\frac{1}{2 y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9} (2 y)}$

Schritt 5.3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$

Schritt 5.3.3.5

Stelle die Faktoren in $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$ um.

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$