Analysis Beispiele

$\sum_{4}^{18} {(n + 1)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(n + 1)}^{2}$ als $(n + 1) (n + 1)$ um.

$(n + 1) (n + 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(n + 1) (n + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n (n + 1) + 1 (n + 1)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n^{2} + n + n + 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$n^{2} + n + n + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $n$ und $n$ .

$n^{2} + 2 n + 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 - \sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{18} n + \sum_{n = 1}^{18} 1$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{n = 1}^{18} n^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $6$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ heraus.

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 (1)}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 \cdot 1}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{1}$

Schritt 3.2.3.1.2.4

Dividiere $3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ durch $1$ .

$3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $18$ und $1$ .

$3 \cdot 19 (2 \cdot 18 + 1)$

Schritt 3.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $19$ .

$57 (2 \cdot 18 + 1)$

Schritt 3.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$57 (36 + 1)$

Schritt 3.2.3.2.4

Addiere $36$ und $1$ .

$57 \cdot 37$

Schritt 3.2.3.2.5

Mutltipliziere $57$ mit $37$ .

$2109$

Schritt 3.3

Berechne $2 \sum_{n = 1}^{18} n$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(2) (\frac{18 (18 + 1)}{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1.1

Addiere $18$ und $1$ .

$2 \frac{18 \cdot 19}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $19$ .

$2 (\frac{342}{2})$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{342}{2})$

Schritt 3.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$342$

Schritt 3.4

Berechne $\sum_{n = 1}^{18} 1$ .

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Schritt 3.4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (18)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$18$

Schritt 3.5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2109 + 342 + 18$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2109$ und $342$ .

$2451 + 18$

Schritt 3.6.2

Addiere $2451$ und $18$ .

$2469$

Schritt 4

Berechne $\sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$4 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 + 4 + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 4 + 4 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.7

Addiere $4$ und $4$ .

$4 + 8 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.8

Addiere $8$ und $1$ .

$4 + 9 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.9

Addiere $4$ und $9$ .

$13 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$13 + 9 + 2 \cdot 3 + 1$

Schritt 4.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$13 + 9 + 6 + 1$

Schritt 4.2.12

Addiere $9$ und $6$ .

$13 + 15 + 1$

Schritt 4.2.13

Addiere $15$ und $1$ .

$13 + 16$

Schritt 4.2.14

Addiere $13$ und $16$ .

$29$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$2469 - 29$

Schritt 6

Subtrahiere $29$ von $2469$ .

$2440$