Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{2}{3} {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{0} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{5})}^{0}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1^{0}}{5^{0}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1^{0}}{5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.5

Kombinieren.

$\frac{2 \cdot 1^{0}}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.10

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.11

Vereinfache.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $\frac{2}{3} (- \frac{1}{5})$ .

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Schritt 2.1.12.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.13

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{2}}{5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.17

Kombinieren.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1^{2}}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.19

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.22

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 2.1.23

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.23.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3})$

Schritt 2.1.23.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Schritt 2.1.24

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{5^{3}})$

Schritt 2.1.25

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5^{3}})$

Schritt 2.1.26

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

Schritt 2.1.27

Multipliziere $\frac{2}{3} (- \frac{1}{125})$ .

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Schritt 2.1.27.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{3 \cdot 125}$

Schritt 2.1.27.2

Mutltipliziere $3$ mit $125$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{125}{125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{125}{125}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{15}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - (\frac{2}{15} \cdot \frac{25}{25}) + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{15}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{75}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{2}{75}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $75 \cdot 5$ um.

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 75} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $75$ .

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{375} - \frac{2}{375}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 125 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$\frac{250 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$\frac{250 - 50 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{250 - 50 + 10 - 2}{375}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $50$ von $250$ .

$\frac{200 + 10 - 2}{375}$

Schritt 2.6

Addiere $200$ und $10$ .

$\frac{210 - 2}{375}$

Schritt 2.7

Subtrahiere $2$ von $210$ .

$\frac{208}{375}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{208}{375}$

Dezimalform:

$0.554\overline{6}$