Analysis Beispiele

$\sum_{n = 3}^{20} n (n + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$n \cdot n + n \cdot 1$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$n^{2} + n$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n - \sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + \sum_{n = 1}^{20} n$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{n = 1}^{20} n^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $6$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $20$ und $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Schritt 3.2.3.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Schritt 3.2.3.2.4

Addiere $40$ und $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.3.1

Mutltipliziere $210$ mit $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Schritt 3.2.3.3.2

Dividiere $8610$ durch $3$ .

$2870$

Schritt 3.3

Berechne $\sum_{n = 1}^{20} n$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{20 (20 + 1)}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $2$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 (20 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 (1)}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 (20 + 1)}{1}$

Schritt 3.3.3.1.2.4

Dividiere $10 (20 + 1)$ durch $1$ .

$10 (20 + 1)$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.2.1

Addiere $20$ und $1$ .

$10 \cdot 21$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $21$ .

$210$

Schritt 3.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$2870 + 210$

Schritt 3.5

Addiere $2870$ und $210$ .

$3080$

Schritt 4

Berechne $\sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + 2^{2} + 2$

Schritt 4.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 + 4 + 2$

Schritt 4.2.4

Addiere $4$ und $2$ .

$2 + 6$

Schritt 4.2.5

Addiere $2$ und $6$ .

$8$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$3080 - 8$

Schritt 6

Subtrahiere $8$ von $3080$ .

$3072$