Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 1}}$ als ${(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [{(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = \frac{t}{t^{2} + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $t^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 11

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 14

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}} {(\frac{t^{2} + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 17.2

Wende die Produktregel auf $\frac{t^{2} + 1}{t}$ an.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.3.1

Mutltipliziere $\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$ mit $\frac{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- t^{2} + 1) {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t^{2} + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.2

Bringe ${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3

Multipliziere ${(t^{2} + 1)}^{2}$ mit ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.3.3.1

Bewege ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 ({(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.3.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.3.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 17.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- t^{2} + 1^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 17.5.2

Stelle $- t^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 17.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$