Analysis Beispiele

$p = \frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $q$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ gleich $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ist mit $f (q) = \sec (q) + \csc (q)$ und $g (q) = \csc (q)$ .

$\frac{\csc (q) \frac{d}{d q} [\sec (q) + \csc (q)] - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (q) + \csc (q)$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]$ .

$\frac{\csc (q) (\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sec (q)$ nach $q$ ist $\sec (q) \tan (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\csc (q)$ nach $q$ ist $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\csc (q)$ nach $q$ ist $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) (- \csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + 1 (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\sec (q) + \csc (q)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $\csc (q)$ aus $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ heraus.

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Schritt 3.6.3.1

Faktorisiere $\csc (q)$ aus $(\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ heraus.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.6.3.2

Faktorisiere $\csc (q)$ aus $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))$ heraus.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Schritt 3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $\csc (q)$ aus $\csc^{2} (q)$ heraus.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q)}{\csc (q)}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)$ .

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Schritt 3.8.2.1.1

Addiere $- \csc (q) \cot (q)$ und $\csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q) + 0}{\csc (q)}$

Schritt 3.8.2.1.2

Addiere $\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)$ und $0$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Schritt 3.8.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.2.2.1.1

Stelle $\sec (q)$ und $\cot (q)$ um.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \cot (q) \sec (q)}{\csc (q)}$

Schritt 3.8.2.2.1.2

Schreibe $\sec (q) \cot (q)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{\cos (q)}{\sin (q)} \cdot \frac{1}{\cos (q)}}{\csc (q)}$

Schritt 3.8.2.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{1}{\sin (q)}}{\csc (q)}$

Schritt 3.8.2.2.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (q)}$ nach $\csc (q)$ um.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = \frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$