Analysis Beispiele

$u = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Schritt 1

Schreibe $t^{5}$ als ${(t^{2})}^{2} t$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{4} t}]$

Schritt 1.2

Schreibe $t^{4}$ als ${(t^{2})}^{2}$ um.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{{(t^{2})}^{2} t}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 (t^{2} \sqrt{t})]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[5]{t} + 4 (t^{2} \sqrt{t})$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$

Schritt 2.3

Da $\sqrt[5]{t}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt[5]{t}$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} t^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.2

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{2 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 3.3

Da $4 t^{\frac{5}{2}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $4 t^{\frac{5}{2}}$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4

Addiere $0$ und $0$ .

$0$