Analysis Beispiele

$g (θ) = e^{θ} (\tan (θ) - θ)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = e^{θ}$ und $g (θ) = \tan (θ) - θ$ .

$e^{θ} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) - θ] + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (θ) - θ$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$e^{θ} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- θ$ nach $θ$ gleich $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - \frac{d}{d θ} [θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1 \cdot 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [a^{θ}]$ gleich $a^{θ} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Schritt 6.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - 1 \cdot e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 1 e^{θ}$ als $- e^{θ}$ um.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ - e^{θ}$

Schritt 6.5

Bewege $- e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Schritt 6.6

Faktorisiere $e^{θ}$ aus $e^{θ} \sec^{2} (θ)$ heraus.

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Schritt 6.7

Faktorisiere $e^{θ}$ aus $- e^{θ}$ heraus.

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1 + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Schritt 6.8

Faktorisiere $e^{θ}$ aus $e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1$ heraus.

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Schritt 6.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Schritt 6.10

Stelle die Faktoren in $e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$ um.

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - θ e^{θ}$