Analysis Beispiele

$h (x) = x^{2} \log_{3} (x - π)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \log_{3} (x - π)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x - π)] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{3} (x)$ und $g (x) = x - π$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - π$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - π$ .

$x^{2} (\frac{1}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{(x - π) \ln (3)}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - π] + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- π]) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \log_{3} (x - π) (2 x)$

Schritt 4

Vereinige $\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)}$ und $\log_{3} (x - π) (2 x)$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 4.1

Bewege $\log_{3} (x - π)$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π)$

Schritt 4.2

Um $2 x \log_{3} (x - π)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + 2 x \log_{3} (x - π) \cdot \frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$

Schritt 4.3

Kombiniere $2 x \log_{3} (x - π)$ und $\frac{(x - π) \ln (3)}{(x - π) \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{(x - π) \ln (3)} + \frac{2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) ((x - π) \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{(x - π) \ln (3)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 2 x \log_{3} (x - π) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x - π)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3) - π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (x \ln (3)) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} + \ln (3) x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) x + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + \ln (3) (x \cdot x) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.3.2

Stelle die Faktoren in $x^{2} + \ln (3) x^{2} \log_{3} ({(x - π)}^{2}) + x \log_{3} ({(x - π)}^{2}) (- π \ln (3))$ um.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - x π \log_{3} ({(x - π)}^{2}) \ln (3)}{x \ln (3) - π \ln (3)}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2}) - π x \ln (3) \log_{3} ({(x - π)}^{2})}{x \ln (3) - π \ln (3)}$