Analysis Beispiele

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ und $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.2.8.2

Dividiere $y^{3} y'$ durch $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{8 y^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Subtrahiere $2 y y'$ von $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.10

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Schritt 3.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{4}$ .

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Schritt 3.3.11.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Schritt 3.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.11.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Schritt 3.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Schritt 3.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Schritt 3.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

Schritt 3.3.13

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

Schritt 3.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 3.3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y'$ heraus.

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

Schritt 3.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y^{3}$ heraus.

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

Schritt 3.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

Schritt 3.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ um.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 4 y^{3}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 y^{3}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ mit $4 y^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ mit $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2.1.2

Multipliziere $y^{3}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bewege $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ in den Zähler.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $4 y^{3}$ mit $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{6} y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{6} y'$ heraus.

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $4 y^{6}$ als ${(2 y^{3})}^{2}$ um.

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 y^{3}$ und $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

Schritt 5.4.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ durch $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ durch $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{3} + 1$ .

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Schritt 5.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.4.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{3} - 1$ .

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Schritt 5.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.4.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$