Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + x}$ als ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + x$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ um.

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.4.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Produktregel auf $x (x + 1)$ an.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $- 2 x - 1$ mit $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.11

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$