Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5}{3} k$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $k$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{11}{3} - \frac{k \cdot 5}{3}$

Schritt 1.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $k$ .

$\frac{11}{3} - \frac{5 k}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5 k}{3}$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5 k}{3} = \sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} + \sum_{k = 1}^{25} - \frac{5 k}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{11}{3}) (25)$

Schritt 3.3

Multipliziere $(\frac{11}{3}) (25)$ .

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{11}{3}$ und $25$ .

$\frac{11 \cdot 25}{3}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $25$ .

$\frac{275}{3}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{25} - \frac{5 k}{3}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- \frac{5}{3}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{5}{3}) \sum_{k = 1}^{25} k$

Schritt 4.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{5}{3}) (\frac{25 (25 + 1)}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Addiere $25$ und $1$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{25 \cdot 26}{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $26$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{650}{2}$

Schritt 4.4.3

Dividiere $650$ durch $2$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 325$

Schritt 4.4.4

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot 325$ .

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $325$ mit $- 1$ .

$- 325 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.4.4.2

Kombiniere $- 325$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 325 \cdot 5}{3}$

Schritt 4.4.4.3

Mutltipliziere $- 325$ mit $5$ .

$\frac{- 1625}{3}$

Schritt 4.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1625}{3}$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{275}{3} - \frac{1625}{3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{275 - 1625}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1625$ von $275$ .

$\frac{- 1350}{3}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $- 1350$ durch $3$ .

$- 450$