Analysis Beispiele

$f (x) = \cos ({(x^{2} + 1)}^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (2 x))$

Schritt 3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (2 \cdot (x^{2} + 1) x)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{2} x + 1 x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{2} x^{1} + 1 x)$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{2 + 1} + 1 x)$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{3} + 1 x)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{3} + x)$