Analysis Beispiele

$\sum_{k = 2}^{4} 5 {(\frac{2}{3})}^{k}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$5 {(\frac{2}{3})}^{2} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$5 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$5 \frac{4}{3^{2}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $5 (\frac{4}{9})$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{9} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\frac{20}{9} + 5 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{20}{9} + 5 \frac{8}{3^{3}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{20}{9} + 5 (\frac{8}{27}) + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.8

Multipliziere $5 (\frac{8}{27})$ .

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Schritt 2.1.8.1

Kombiniere $5$ und $\frac{8}{27}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{5 \cdot 8}{27} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Schritt 2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 \frac{2^{4}}{3^{4}}$

Schritt 2.1.10

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 \frac{16}{3^{4}}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 (\frac{16}{81})$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $5 (\frac{16}{81})$ .

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Schritt 2.1.12.1

Kombiniere $5$ und $\frac{16}{81}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \frac{5 \cdot 16}{81}$

Schritt 2.1.12.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{20}{9}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{9}{9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{20}{9}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{40}{27}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40}{27} \cdot \frac{3}{3} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{40}{27}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40 \cdot 3}{27 \cdot 3} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{27 \cdot 3} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2.6

Stelle die Faktoren von $27 \cdot 3$ um.

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{3 \cdot 27} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{81} + \frac{80}{81}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cdot 9 + 40 \cdot 3 + 80}{81}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $20$ mit $9$ .

$\frac{180 + 40 \cdot 3 + 80}{81}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $40$ mit $3$ .

$\frac{180 + 120 + 80}{81}$

Schritt 2.5

Addiere $180$ und $120$ .

$\frac{300 + 80}{81}$

Schritt 2.6

Addiere $300$ und $80$ .

$\frac{380}{81}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{380}{81}$

Dezimalform:

$4.69135802 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{56}{81}$