Analysis Beispiele

$f (θ) = \frac{7}{5} \sin^{2} (2 θ)$

Schritt 1

Da $\frac{7}{5}$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{5} \sin^{2} (2 θ)$ nach $θ$ gleich $\frac{7}{5} \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]$ .

$\frac{7}{5} \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (2 θ)$ .

$\frac{7}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{7}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (2 θ)$ .

$\frac{7}{5} (2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{5} (\sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14}{5} (\sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)])$

Schritt 3.3

Kombiniere $\sin (2 θ)$ und $\frac{14}{5}$ .

$\frac{\sin (2 θ) \cdot 14}{5} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$

Schritt 3.4

Bringe $14$ auf die linke Seite von $\sin (2 θ)$ .

$\frac{14 \cdot \sin (2 θ)}{5} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = 2 θ$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 θ$ .

$\frac{14 \sin (2 θ)}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\frac{14 \sin (2 θ)}{5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 θ$ .

$\frac{14 \sin (2 θ)}{5} (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\cos (2 θ)$ und $\frac{14 \sin (2 θ)}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (14 \sin (2 θ))}{5} \frac{d}{d θ} [2 θ]$

Schritt 5.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $\cos (2 θ)$ .

$\frac{14 \cdot \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5} \frac{d}{d θ} [2 θ]$

Schritt 5.3

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 θ$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{14 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5} (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Schritt 5.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{14 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5}$ .

$\frac{2 (14 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{5} \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$\frac{28 (\cos (2 θ) \sin (2 θ))}{5} \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{28 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5} \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{28 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5}$ mit $1$ .

$\frac{28 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{5}$