Analysis Beispiele

$\frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 1

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int \frac{x^{3} x - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{x^{3} x^{1} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int \frac{x^{3 + 1} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 5

Addiere $3$ und $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 8

Addiere $2$ und $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 13

Dividiere $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Schritt 13.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Schritt 13.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Schritt 13.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 13.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 13.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 13.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

Schritt 13.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

Schritt 13.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 13.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 13.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

Schritt 13.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

Schritt 13.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

Schritt 13.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

Schritt 13.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 8 x + 8$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

Schritt 13.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

$3 x$

$8$

Schritt 13.16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$d \int x^{2} + x + 2 + \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 14

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$d (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 17.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 18

Wende die Konstantenregel an.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 19

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 19.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 19.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 19.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 19.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 19.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 x - 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 19.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{3 x - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 19.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 19.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 19.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 8) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 19.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 19.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x - 8) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 19.1.5.2

Dividiere $3 x - 8$ durch $1$ .

$3 x - 8 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 19.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 19.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 8 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 19.1.6.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 19.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{2}$ und $x - 2$ .

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Schritt 19.1.6.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(B) {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 19.1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 19.1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 19.1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 8 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Schritt 19.1.6.2.2.4

Dividiere $B (x - 2)$ durch $1$ .

$3 x - 8 = A + B (x - 2)$

Schritt 19.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 8 = A + B x + B \cdot - 2$

Schritt 19.1.6.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $B$ .

$3 x - 8 = A + B x - 2 B$

Schritt 19.1.7

Stelle $A$ und $B x$ um.

$3 x - 8 = B x + A - 2 B$

Schritt 19.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 19.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = B$

Schritt 19.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 8 = A - 2 B$

Schritt 19.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$3 = B$

$- 8 = A - 2 B$

$3 = B$

$- 8 = A - 2 B$

Schritt 19.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 19.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 3$ um.

$B = 3$

$- 8 = A - 2 B$

Schritt 19.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 19.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $- 8 = A - 2 B$ durch $3$ .

$- 8 = A - 2 \cdot 3$

$B = 3$

Schritt 19.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

Schritt 19.3.3

Löse in $- 8 = A - 6$ nach $A$ auf.

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Schritt 19.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A - 6 = - 8$ um.

$A - 6 = - 8$

$B = 3$

Schritt 19.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 19.3.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 8 + 6$

$B = 3$

Schritt 19.3.3.2.2

Addiere $- 8$ und $6$ .

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

Schritt 19.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = - 2 B = 3$

Schritt 19.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - 2, B = 3$

Schritt 19.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2}$

Schritt 19.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 20

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 21

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 22

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - (2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 23

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 24

Sei $u_{1} = x - 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 24.1

Es sei $u_{1} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 24.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 24.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 24.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 24.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 24.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 24.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 25

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 25.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 25.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 25.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 25.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 26

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Schritt 27

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Schritt 28

Sei $u_{2} = x - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 28.1

Es sei $u_{2} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 28.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 28.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 28.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 28.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 28.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 28.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 29

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 30

Vereinfache.

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 31

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 31.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 31.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| x - 2 |)) + C$

Schritt 32

Stelle die Terme um.

$d (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| x - 2 |)) + C$