Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{100} 3 + n^{2}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{100} 3 + n^{2} = \sum_{n = 1}^{100} 3 + \sum_{n = 1}^{100} n^{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{n = 1}^{100} 3$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(3) (100)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $100$ .

$300$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{100} n^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{100 (100 + 1) (2 \cdot 100 + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $100 (100 + 1) (2 \cdot 100 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (50 (100 + 1) (2 \cdot 100 + 1))}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (50 (100 + 1) (2 \cdot 100 + 1))}{2 (3)}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (50 (100 + 1) (2 \cdot 100 + 1))}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50 (100 + 1) (2 \cdot 100 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$\frac{50 (100 + 1) (200 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $100$ und $1$ .

$\frac{50 \cdot 101 (200 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $50$ mit $101$ .

$\frac{5050 (200 + 1)}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $200$ und $1$ .

$\frac{5050 \cdot 201}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $5050$ mit $201$ .

$\frac{1015050}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Dividiere $1015050$ durch $3$ .

$338350$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$300 + 338350$

Schritt 5

Addiere $300$ und $338350$ .

$338650$