Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{8 x - 8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 8 x - 8$ .

$\frac{(8 x - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(8 x - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $8 x - 8$ mit $1$ .

$\frac{8 x - 8 - x \frac{d}{d x} [8 x - 8]}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{8 x - 8 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 x - 8 - x (8 + 0)}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.8.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{8 x - 8 - x \cdot 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x - 8 - 8 x}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$\frac{0 - 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.4.1

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{- 8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 2.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(8 x - 8)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 8$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$- \frac{8}{{(8 (x) - 8)}^{2}}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$- \frac{8}{{(8 (x) + 8 (- 1))}^{2}}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (x) + 8 (- 1)$ heraus.

$- \frac{8}{{(8 (x - 1))}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $8 (x - 1)$ an.

$- \frac{8}{8^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{8}{64 {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $64$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- \frac{8 (1)}{64 {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $64 {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{8 (1)}{8 (8 {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8 \cdot 1}{8 (8 {(x - 1)}^{2})}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}}$