Analysis Beispiele

$\frac{(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 2

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int \frac{- 2 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{- 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int \frac{- 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 6

Addiere $2$ und $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 11

Dividiere $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ durch $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Schritt 11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Schritt 11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$

Schritt 11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Schritt 11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Schritt 11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

Schritt 11.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Schritt 11.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Schritt 11.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

					-	$2 x$	-	$6$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$
					+	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$6 x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
							-	$6 x^{2}$	+	$24 x$	-	$24$

Schritt 11.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} + 24 x - 24$

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

Schritt 11.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

$17 x$

$24$

Schritt 11.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$d \int - 2 x - 6 + \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\int - 2 x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 13

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$d (- 2 \int x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 15

Wende die Konstantenregel an.

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Schritt 17

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 17.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 17.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 17.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 17.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 17.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 17.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{- 17 x + 24}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 17.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 17.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 17.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 17.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 17.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 17.1.5.2

Dividiere $- 17 x + 24$ durch $1$ .

$- 17 x + 24 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 17.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 17.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 17 x + 24 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 17.1.6.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 17.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{2}$ und $x - 2$ .

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Schritt 17.1.6.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(B) {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 17.1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 17.1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 17.1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 17 x + 24 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Schritt 17.1.6.2.2.4

Dividiere $B (x - 2)$ durch $1$ .

$- 17 x + 24 = A + B (x - 2)$

Schritt 17.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 17 x + 24 = A + B x + B \cdot - 2$

Schritt 17.1.6.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $B$ .

$- 17 x + 24 = A + B x - 2 B$

Schritt 17.1.7

Stelle $A$ und $B x$ um.

$- 17 x + 24 = B x + A - 2 B$

Schritt 17.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 17.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 17 = B$

Schritt 17.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$24 = A - 2 B$

Schritt 17.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

Schritt 17.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 17.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = - 17$ um.

$B = - 17$

$24 = A - 2 B$

Schritt 17.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 17$ in jeder Gleichung.

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Schritt 17.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $24 = A - 2 B$ durch $- 17$ .

$24 = A - 2 \cdot - 17$

$B = - 17$

Schritt 17.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 17$ .

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

Schritt 17.3.3

Löse in $24 = A + 34$ nach $A$ auf.

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Schritt 17.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A + 34 = 24$ um.

$A + 34 = 24$

$B = - 17$

Schritt 17.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 17.3.3.2.1

Subtrahiere $34$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 24 - 34$

$B = - 17$

Schritt 17.3.3.2.2

Subtrahiere $34$ von $24$ .

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

Schritt 17.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = - 10 B = - 17$

Schritt 17.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - 10, B = - 17$

Schritt 17.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Schritt 17.5

Vereinfache.

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Schritt 17.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Schritt 17.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 18

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 19

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - \int \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 20

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - (10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 21

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 22

Sei $u_{1} = x - 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 22.1

Es sei $u_{1} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 22.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 22.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 22.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 22.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 22.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 22.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 23

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 23.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 23.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 23.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 23.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 24

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 25

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{17}{x - 2} d x)$

Schritt 26

Da $17$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $17$ aus dem Integral.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (17 \int \frac{1}{x - 2} d x))$

Schritt 27

Mutltipliziere $17$ mit $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Schritt 28

Sei $u_{2} = x - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 28.1

Es sei $u_{2} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 28.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 28.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 28.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 28.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 28.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 28.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 29

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 30

Vereinfache.

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{u_{1}} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 31

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 31.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 31.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| x - 2 |)) + C$