Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{7 x^{2}}}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7 x^{2}}$ als ${(7 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x^{2})}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 (x^{2}))}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $7 (x^{2})$ an.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} {(x^{2})}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} x^{2 (\frac{1}{3})}}]$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2

Da $\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{7^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Schritt 10

Kombiniere $x^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{7^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{7^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{7^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Schritt 12.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $7^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 7^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}}}$