Analysis Beispiele

$\sum_{n = 18}^{64} \frac{1}{2} n$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $n$ .

$\frac{n}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 18}^{64} \frac{n}{2}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 18}^{64} \frac{n}{2} = \sum_{n = 1}^{64} \frac{n}{2} - \sum_{n = 1}^{17} \frac{n}{2}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{64} \frac{n}{2}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\frac{1}{2}$ aus der Summe raus.

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{64} n$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{2}) (\frac{64 (64 + 1)}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $64$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 \cdot 65}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $65$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4160}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4160$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2080)}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2080}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2080}{2}$

Schritt 3.4.3

Dividiere $2080$ durch $2$ .

$1040$

Schritt 4

Berechne $\sum_{n = 1}^{17} \frac{n}{2}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\frac{1}{2}$ aus der Summe raus.

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{17} n$

Schritt 4.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{2}) (\frac{17 (17 + 1)}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1.1

Addiere $17$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{17 \cdot 18}{2}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $17$ mit $18$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{306}{2}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $306$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (153)}{2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 153}{2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{153}{2}$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$1040 - \frac{153}{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $1040$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1040 \cdot \frac{2}{2} - \frac{153}{2}$

Schritt 6.2

Kombiniere $1040$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1040 \cdot 2}{2} - \frac{153}{2}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1040 \cdot 2 - 153}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $1040$ mit $2$ .

$\frac{2080 - 153}{2}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $153$ von $2080$ .

$\frac{1927}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1927}{2}$

Dezimalform:

$963.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$963 \frac{1}{2}$