Analysis Beispiele

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{1 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 15.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Schritt 16.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$