Analysis Beispiele

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 0} \cdot (\int_{0}^{5} {(x^{3})}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{5} x^{3 \cdot 2} d x$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int_{0}^{5} x^{6} d x$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{5}$

Schritt 3.3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Berechne $\frac{1}{7} x^{7}$ bei $5$ und $0$ .

$(\frac{1}{7} \cdot 5^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $5$ mit $7$ .

$\frac{1}{7} \cdot 78125 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $78125$ .

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7}$

Schritt 3.3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{78125}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{78125}{7} + 0 (\frac{1}{7})$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{7}$ .

$\frac{78125}{7} + 0$

Schritt 3.3.2.6

Addiere $\frac{78125}{7}$ und $0$ .

$\frac{78125}{7}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 - 0}$ mit $\frac{78125}{7}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 - 0) \cdot 7}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{(5 + 0) \cdot 7}}$

Schritt 4.2.2

Addiere $5$ und $0$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{78125}{5 \cdot 7}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{78125}{5 \cdot 7}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $78125$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 7$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 (7)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 15625}{5 \cdot 7}}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{15625}{7}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{15625}{7}}$ als $\frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{15625}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $15625$ als $125^{2}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{125^{2}}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{125}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{125}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{125}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.7.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 4.7.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$f_{rms} = \frac{125 \sqrt{7}}{7}$

Dezimalform:

$f_{rms} = 47.24555912 \dots$

Schritt 6