Analysis Beispiele

$e^{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $e^{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Sei $u = \sqrt{x}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

$\int 2 u e^{u} d u$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u e^{u} d u$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$