Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ nicht definiert ist.

$x = - 1$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Schritt 2.1.1.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.1.2.1

Um $e^{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $e$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $e$ .

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Schritt 2.1.2.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Schritt 2.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Schritt 2.2.1.2

Da der Exponent $x + 1$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x + 1}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Schritt 2.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.2.1.3.2

Da der Exponent $x + 1$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x + 1}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.2.1.3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.2.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.3.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Schritt 2.2.1.3.3.2.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.3.3.2.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.3.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.7

Mutltipliziere $e^{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Schritt 2.2.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x + 1} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Schritt 2.2.3.9.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.2.3.9.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.9.6

Mutltipliziere $e^{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 2.2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Schritt 2.2.3.11

Addiere $e^{x + 1}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x + 1}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} 1$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$1$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Schritt 3.2

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Schritt 3.4

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.5.1

Berechne den Grenzwert von $e^{- 1}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Schritt 3.5.2.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{e}$ von $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Schritt 3.5.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 (- e)$

Schritt 3.5.2.3

Multipliziere $0 (- e)$ .

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Schritt 3.5.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 e$

Schritt 3.5.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $e$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 1, 0$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1$

Horizontale Asymptoten: $y = 1, 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7