Analysis Beispiele

$\frac{12}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{12}{y^{2} + 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ um.

$\frac{12}{y^{2} + 1} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2} + 1, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y^{2} + 1, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2} + 1$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ mit $y^{2} + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ mit $y^{2} + 1$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$12 = x (y^{2} + 1)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 = x y^{2} + x \cdot 1$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$12 = x y^{2} + x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{2} + x = 12$ um.

$x y^{2} + x = 12$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} = 12 - x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = 12 - x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = 12 - x$ durch $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} - 1$

Schritt 2.4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Schritt 2.4.5.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} + \frac{- x}{x}}$

Schritt 2.4.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{12 - x}{x}}$

Schritt 2.4.5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{12 - x}{x}}$ als $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 2.4.5.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 2.4.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 2.4.5.6.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 2.4.5.6.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 2.4.5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 2.4.5.6.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.4.5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 2.4.5.6.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x}$

Schritt 2.4.5.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$

Schritt 2.4.5.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Schritt 2.4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Schritt 2.4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Schritt 2.4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(0, 12]$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (12 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (12 - x) \geq 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$12 - x = 0$

Schritt 4.3.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3.2.3

Setze $12 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.1

Setze $12 - x$ gleich $0$ .

$12 - x = 0$

Schritt 4.3.2.3.2

Löse $12 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 12$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 12$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 12$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $- 1$ .

$x = 12$

Schritt 4.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (12 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, 12$

Schritt 4.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 4.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (12 - (- 2)) \geq 0$

Schritt 4.3.2.6.1.3

Die linke Seite $- 28$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 4.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) (12 - (2)) \geq 0$

Schritt 4.3.2.6.2.3

Die linke Seite $20$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 4.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(14) (12 - (14)) \geq 0$

Schritt 4.3.2.6.3.3

Die linke Seite $- 28$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

Schritt 4.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 12$

Schritt 4.3.3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.3.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, 12]$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze den Nenner in $\frac{12}{x^{2} + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 4.4.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 4.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 4.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 4.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 4.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Schritt 5