Analysis Beispiele

$f (x) = \sec (x)$ , $x = \frac{π}{4}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{4}$ für $x$ ein.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\sec (\frac{π}{4})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.2.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{4}$ und $y = \sqrt{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\sqrt{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{π}{4})$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Schritt 3.3.3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2} π$ heraus.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) + 4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})$ heraus.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.3.3.8

Schreibe $- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ als $- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ um.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4