Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + 3 e^{x}$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = 1 + 3 e^{1}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

$y = 1 + 3 e$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1 + 3 e$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + 3 e^{x}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $3 e^{x}$ .

$3 e^{x}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$3 e^{1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

$3 e$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $3 e$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1 + 3 e)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1 + 3 e) = 3 e \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 - 3 e = 3 e \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $3 e \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 - 3 e = 0 + 0 + 3 e \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 - 3 e = 3 e \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 - 3 e = 3 e x + 3 e \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y - 1 - 3 e = 3 e x - 3 e$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - 3 e = 3 e x - 3 e + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $3 e$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 e x - 3 e + 1 + 3 e$

Schritt 3.3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 e x - 3 e + 1 + 3 e$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Addiere $- 3 e$ und $3 e$ .

$y = 3 e x + 0 + 1$

Schritt 3.3.2.3.2

Addiere $3 e x$ und $0$ .

$y = 3 e x + 1$

Schritt 3.3.3

Bewege $e$ .

$y = 3 x e + 1$

Schritt 4