Analysis Beispiele

$16 x^{4} + 125 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{4} + 125 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{4}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $125$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $125 x$ nach $x$ gleich $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $125$ mit $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $64 x^{3} + 125 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 x^{3} = - 125$

Schritt 2.3

Addiere $125$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $64 x^{3}$ als ${(4 x)}^{3}$ um.

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Schritt 2.4.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Schritt 2.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 4 x$ und $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4.4.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Schritt 2.6

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $4 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 5$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Schritt 2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 2.7

Setze $16 x^{2} - 20 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $16 x^{2} - 20 x + 25$ gleich $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Schritt 2.7.2

Löse $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.7.2.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = - 20$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.3.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Schritt 2.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.3

Subtrahiere $1600$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.4

Schreibe $- 1200$ als $- 1 (1200)$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1200)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.7

Schreibe $1200$ als $20^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $1200$ heraus.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.7.2.3.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.4.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Schritt 2.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.3

Subtrahiere $1600$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.4

Schreibe $- 1200$ als $- 1 (1200)$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1200)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.7

Schreibe $1200$ als $20^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $1200$ heraus.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.7.2.4.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.2.5.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Schritt 2.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.3

Subtrahiere $1600$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.4

Schreibe $- 1200$ als $- 1 (1200)$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1200)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.7

Schreibe $1200$ als $20^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $1200$ heraus.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.7.2.5.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $16 x^{4} + 125 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{5}{4}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{5}{4}$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{4}$ an.

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ mit $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $5$ mit $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.5

Potenziere $4$ mit $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Faktorisiere $16$ aus $256$ heraus.

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.7

Multipliziere $125 (- \frac{5}{4})$ .

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Schritt 4.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Kombiniere $- 125$ und $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Schritt 4.1.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 125$ mit $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Schritt 4.1.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Schritt 4.1.2.2

Um $- \frac{625}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{625}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 625$ mit $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Schritt 4.1.2.5.2

Subtrahiere $2500$ von $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1875}{16}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Schritt 5