Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{15 x^{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 1.2.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 1.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{15}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

Schritt 1.2.10

Kombiniere $\frac{5}{15}$ und $x^{- 6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

Schritt 1.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $15$ .

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Schritt 1.2.12.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

Schritt 1.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.12.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x^{6}$ heraus.

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

Schritt 1.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

Schritt 1.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Schritt 3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

Schritt 4

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 5

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

Schritt 7.2

Addiere $15$ und $1$ .

$f' (1) = \frac{16}{3}$