Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{e^{x}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Schritt 1.2

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $x^{e^{x}}$ als $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Schritt 1.2.2

Zerlege $\ln (x^{e^{x}})$ durch Herausziehen von $e^{x}$ aus dem Logarithmus.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.6

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.8.2.1

Kombiniere $\frac{e^{x}}{x}$ und $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8.2.2

Kombiniere $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ und $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8.2.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{e^{x} \ln (x)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.2.3.1

Bewege $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 1.8.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 1.8.2.6

Um $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 1.8.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 1.8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Entferne die Klammern.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Schritt 3.2

Dividiere $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ durch $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $e$ mit $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.6

Multipliziere $2 e \cdot 0$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Schritt 4.7.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $e$ mit $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Schritt 4.8

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Schritt 4.9

Vereinfache.

$f' (1) = 0 + 2 e$

Schritt 5

Addiere $0$ und $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$