Analysis Beispiele

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $q$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ gleich $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ist mit $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ und $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (q) + \cos (q)$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (q)$ nach $q$ ist $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cos (q)$ nach $q$ ist $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sin (q)$ nach $q$ ist $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Subtrahiere $\sin (q) \cos (q)$ von $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.1.2

Addiere $\sin (q) (- \sin (q))$ und $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.2

Multipliziere $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Schritt 3.6.4.2.2.1

Potenziere $\sin (q)$ mit $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.2.2

Potenziere $\sin (q)$ mit $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.3

Multipliziere $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Schritt 3.6.4.2.3.1

Potenziere $\cos (q)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.3.2

Potenziere $\cos (q)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (q)$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (q)$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ heraus.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Schritt 3.6.5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ nach $\csc^{2} (q)$ um.

$- \csc^{2} (q)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = - \csc^{2} (q)$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \csc^{2} (q)$