Analysis Beispiele

$v = V e^{- (\frac{t}{T})}$

Schritt 1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{t}{T}$ .

$v' = V e^{- \frac{t}{T}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} (V e^{- \frac{t}{T}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $v'$ nach $t$ ist $v''$ .

$v''$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $V$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $V e^{- \frac{t}{T}}$ nach $t$ gleich $V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$ .

$V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - \frac{t}{T}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{t}{T}$ .

$V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$V (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{t}{T}$ .

$V (e^{- \frac{t}{T}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Da $- \frac{1}{T}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{T}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t]$ .

$V e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.2.1

Kombiniere $V$ und $\frac{1}{T}$ .

$e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{V}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $e^{- \frac{t}{T}}$ und $\frac{V}{T}$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \cdot 1$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T}$

Schritt 4.3.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{- \frac{t}{T}} V$ um.

$- \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$v'' = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Schritt 6

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$