Analysis Beispiele

$y = \tan (\sqrt{1 - x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \tan (y)$ und $g (y) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = 1 - x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 4.9

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 4.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.12

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- x')$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x'$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ um.

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.2.1

Dividiere $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ durch $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache $\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.5.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$