Analysis Beispiele

$y = e^{p} (p + p \sqrt{p})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{p}$ als $p^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d p} (y) = \frac{d}{d p} (e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $p$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Multipliziere $p$ mit $p^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $p$ mit $p^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1} p^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1 + \frac{1}{2}})]$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Schritt 4.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{3}{2}})]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ gleich $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ ist mit $f (p) = e^{p}$ und $g (p) = p + p^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{p} \frac{d}{d p} [p + p^{\frac{3}{2}}] + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $p + p^{\frac{3}{2}}$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]$ .

$e^{p} (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{p} (1 + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{1}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $p^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ gleich $a^{p} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

Schritt 4.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Schritt 4.10.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.10.3.1

Mutltipliziere $e^{p}$ mit $1$ .

$e^{p} + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Schritt 4.10.3.2

Kombiniere $e^{p}$ und $\frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Schritt 4.10.4

Stelle die Terme um.

$e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d p}$ .

$\frac{d y}{d p} = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$