Analysis Beispiele

$z = x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $x$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x) + 2 (- 4 x^{2})) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x \cdot x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.10

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + 1 x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.12

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.13

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} x}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{1 + 2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.16

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.17

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 8 x^{3} - x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.18

Addiere $- 8 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2} + 0}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.19

Addiere $2 x - x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.20

Um $3 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$