Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.12

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.15

Vereinfache.

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Schritt 1.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.15.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.15.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ um.

$(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.4

Multipliziere $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.15.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.15.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.15.5.1.1

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.2

Mutltipliziere $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

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Schritt 1.15.5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.3.3

Kombiniere $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.15.5.1.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.15.5.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.15.5.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.15.5.1.6.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Schritt 1.15.5.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Schritt 1.15.5.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Schritt 1.15.5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Schritt 1.15.5.2

Subtrahiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.11

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 4.1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 4.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.12

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Schritt 4.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.15

Vereinfache.

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Schritt 4.1.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.15.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (x) = (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.15.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ um.

$f' (x) = (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.4

Multipliziere $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.15.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.15.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.15.5.1.1

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.2

Mutltipliziere $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

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Schritt 4.1.15.5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.3.3

Kombiniere $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.15.5.1.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.15.5.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.15.5.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.15.5.1.6.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Schritt 4.1.15.5.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Schritt 4.1.15.5.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Schritt 4.1.15.5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Schritt 4.1.15.5.2

Subtrahiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $x$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Schritt 5.2.2

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{2} - 6 u + 4 = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2} - 6 u + 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2}$ heraus.

$2 (u^{2}) - 6 u + 4 = 0$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 u$ heraus.

$2 (u^{2}) + 2 (- 3 u) + 4 = 0$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 5.2.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 u^{2} + 2 (- 3 u)$ heraus.

$2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 5.2.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2$ heraus.

$2 (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $u^{2} - 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 5.2.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (u - 2) (u - 1) = 0$

Schritt 5.2.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 2$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Schritt 5.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 5.4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 5.4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 2^{2}$

Schritt 5.4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 2^{2}$

Schritt 5.4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 5.5

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 5.5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 1^{2}$

Schritt 5.5.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 1^{2}$

Schritt 5.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = 1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$2 x - 6 \sqrt{x^{1}} + 4$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$2 x - 6 \sqrt{x} + 4$

Schritt 6.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 - \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 9.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{3}{2^{1}}$

Schritt 9.1.4

Berechne den Exponenten.

$2 - \frac{3}{2}$

Schritt 9.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 9.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 3}{2}$

Schritt 9.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 10

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = {((4) - 2 \sqrt{4})}^{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (4) = {(4 - 2 \sqrt{2^{2}})}^{2}$

Schritt 11.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4) = {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (4) = {(4 - 4)}^{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (4) = 0^{2}$

Schritt 11.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (4) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - \frac{3}{1}$

Schritt 13.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$2 - 1 \cdot 3$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 - 3$

Schritt 13.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 1$

Schritt 14

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {((1) - 2 \sqrt{1})}^{2}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = {(1 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = {(1 - 2)}^{2}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = {(- 1)}^{2}$

Schritt 15.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (1) = 1$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$ .

$(4, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(1, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17